高等代数中的数学建模实例示范

 

案例1（货物交换的经济模型--知识点：线性方程组）

 

货物交换的经济模型：诺贝尔经济学奖获得者列昂杰夫(Leontief)考虑的一个经济学模型。 在一个原始部落, 根据分工, 人们分别从事 3 种劳动:农田耕作(记为 F)、农具与工具的制作(记为 M),  以及织物的编织(记为 C), 人们之间的贸易是实物交易。图 1 给出这 3 组人之间的交易系统, 图中所示表明, 农夫们将每年收获的一半留给自己, 并分别拿出1/ 4 给工匠们和织布者们;而工匠们却平均分配他们制作的用具给每个组;织布者们则留下 1/ 4 的衣物给自己, 并拿出 1/ 4 给工匠们、1/ 2 给农夫们。 此交易系统也可以用表给出, 见表 1。

 

 

                                       

图 1 3 组人之间的交易系统

 

表 1   交易情况表

                

 

随着社会的发展, 实物交易形式变得十分不方便, 于是部落决定用货币进行交易。 假设没有资本和负债, 那么如何给每类产品定价,  使其公正地体现旧有的实物交易系统呢?

令x1 为农作物的价值, x2 为农具及工具的价值, x3 为织物的价值, 那么由表 1 的第一行, 农夫们生产的价值应等于他们交换到的产品包括留给自己价值即有    

 

 

 

 

因此,该问题可归结为一个三元一次线性方程组的求解问题。 以此问题引出行列式,  使学生了解行列式与线性方程组的密切联系。   从简单的经济问题入手, 让学生了解知识的应用背景, 表明学习行列式是为生产实践服务的, 从而提高学生学习的积极性。

 

案例2（通信加密--矩阵的乘积与矩阵的逆）

加密技术在通信中有着重要的作用，加密 的 原 理 如 下：发送方采用某种算法，也就是密钥，将明文数据加密转化成密文数据后发送给接受方，接收方则可以采用对应的某种算法将密文数据解密转换成明文数据。从矩阵的角度来解释就是，明文用矩阵 Ｘ 来表示，加密密钥为矩阵 Ａ ，则加密过程就是矩阵方程 ＡＸ ＝Ｃ ，密文是矩阵Ｃ ，解密密钥为矩阵Ｂ ，解密的过程为 Ｘ ＝ＢＣ ，加密技术是否有效，关键在于能否还原成明文。

我们来分析一下这两个矩阵方程，看这两个密钥矩阵 Ａ，Ｂ 之间的关系。由于 ＡＸ ＝Ｃ，Ｘ ＝ＢＣ ，则有ＡＢＣ ＝Ｃ ，即ＡＢ ＝Ｅ ，所以在保密通信中，密钥只有一个，解密密钥是通过这个关系式 ＡＢ ＝Ｅ 得 到 的，也就是加密密钥和解密密钥互为逆矩阵Ｂ ＝ Ａ－１ 。比如，在２００８年谍战 大 片《潜 伏》中，地下工作者余则成收到王翠平传递来的秘密消息，是２０个 数 字，这 个 消 息 可 以用一个４行５列的矩阵来表示

 

约定２６个英文字母对应１到２６个 数 字，０表 示 空 格，２７表示 句 号。约定好的密钥是

 

 

请问王翠平发来的密信是什么？

通过刚才的分析，现在想知道密信内容，就是要找到解密密钥，也就是约定好的密钥Ａ 的逆矩阵，于是问题转换为逆矩阵的求解问题。计算｜Ａ｜≠０，则方阵Ａ 可逆，于是王翠平发来的信息就是

    

 

由英文字母与 整 数 间 的 对 应 可 得 到 密 信 内 容 为

 “ＡＣＣＯＭＰＬＩＳＨ ＴＨＥＴＡＳＫ。”

保密通信问题是当今信息时代发展的一个重要研究课题，实际的加密模型相当复杂，上面所举的例子只是为了说明逆矩阵应用的一个最简单的模型。